投資収益率・分散・標準偏差について例題を使ってわかりやすく

期待収益率を算出するには、予想されるシナリオとそのシナリオが発生率（正規確率といいます）を決めて、それぞれの予想投資収益率を加重平均します。

数式で表すと以下の通りです。

 期待収益率（%）＝予想投資収益率×確率　の合計 

ここで、投資収益率とは、株式の投資効果を計る指標のひとつで、株式の投資額に対して、どのくらいの利益があったかを年率で表したものです。
なお、投資収益率は「総合利回り」ともいいます

投資収益率を数式で表すと以下です。

投資収益率（%）＝投資収益率 / 投資額×100

例えば、証券Aの株式は、景気の変動により下記の通り株価や配当が変動すると仮定します。

現時点の証券Aの株価が1000円の時、このような予測値から証券Aの期待収益率を求めます。

• 期待収益率 = 好景気の期待収益率 × 0.2 + 平常時の期待収益 × 0.6 + 率不景気の期末収益率 × 0.6
• 好景気の期待収益率：（1055-1000+45）/1000　× 100 ＝ 10%
• 平常時の期待収益率：（1040-1000+40）/1000　× 100 ＝ 8%
• 不景気の期末収益率：（970-1000+0）/1000　× 100 ＝ -3%
• 期待収益率＝10% × 0.2 + 8% × 0.6 - 3% × 0.6 = 2% + 4.8% - 0.6% ＝ 6.2%

以上から、証券Aの期待収益率は6.2%と求めることができます。

分散の数式は以下の通り。

分散＝(（ある状態における収益率ー期待収益率）² × 確率）の合計

期待値から離れた値をとるデータが多ければ多いほど、分散が大きくなります。

期待値からの距離の２乗することにより、基準を正負によらない値としてすることができます。

一方、標準偏差とは、分散の平方根（2乗した数値をもとに戻した数値）のことです。

標準偏差の数式は以下の通り。

標準偏差＝√分散

分散は求める過程で、期待値からの距離が2乗されているので、元の単位と結果の単位が異なってしまい、分かりにくい指標となってしまいます。そこで、分散の平方根にとることによって、元の単位を揃えています。

分散と同様に標準偏差が小さいほどリスクが小さく、大きいほどリスクが大きくなります。

さきほどの計算例でも用いた、景気の変動により株価や配当が変動する証券Aにおける分散と標準偏差を求めてみます。

（分散）

分散は、実現性のある各収益率から期待収益率を差し引き、その差を2乗した値に生起確率を乗じ、それらをすべて合計した値のことです。

したがって、分散は、好景気の分散 、平常時の分散、不景気の分散を合計したものになります。

それぞれの分散は（各景気における収益率ー期待収益率）2 × 確率）で求められます。

• 好景気の分散：（10%－6.2%）2 ×0.2＝2.88
• 平常時の分散：（8%－6.2%）2 ×0.6＝1.944
• 不景気の分散：（-3%－6.2%）2 ×0.2＝16.928

分散＝好景気の分散 + 平常時の分散 + 不景気であることから

• 分散＝2.88 + 1.944 + 16.928=21.752

（標準偏差）

標準偏差は下式で求められます

• 標準偏差＝√分散
• 標準偏差＝√21．752≒4.667%

以上より、証券Aにおける分散は21.752、標準偏差は4.7%と求めることができます。

「ポートフォリオ」とは、ここでは金融商品の組み合わせのことをいいます。

複数の金融資産を組み合わせて保有する際、どのような割合で保有するのが良いのか、迷うことがあると思います。

その時も、期待収益率と分散、標準偏差を用いて、リターンとリスク評価することは有用です。

ポートフォリオの期待収益率は、個々の期待収益率を、ポートフォリオの構成比で加重平均したものに等しくなります。

例えば証券Xと証券Yのポートフォリオを組む時の期待収益率の数式は以下の通りです。

ポートフォリオの期待収益率＝（証券Xの予想投資収益率×証券Xの構成比）＋（証券Yの予想投資収益率×証券Yの構成比） 

（期待収益率の計算）

まずはそれぞれの経済状態におけるい期待収益率を算出します。

それを生起確率で加重平均します。

ここで、ポートフォリオの期待収益率は下式で求められます。

• ポートフォリオの期待収益率＝（証券Xの予想投資収益率×証券Xの構成比）＋（証券Yの予想投資収益率×証券Yの構成比） 

であることから、

• 好景気のポートフォリオ期待収益率：0.7×50%＋0.3×10%＝ （35＋3）%＝38%
• 平常時のポートフォリオ期待収益率：0.7×10%＋0.3×20%＝ （7＋6）%＝13%
• 不景気のポートフォリオ期末収益率：0.7×▲20%＋0.3×▲5%＝ （-14%＋-1.5%）＝▲15.5%

この結果を生起確率で加重平均します。

• 期待収益率 = 好景気の期待収益率 × 0.3 + 平常時の期待収益 × 0.5 + 率不景気の期末収益率 × 0.2
• 期待収益率＝38% × 0.3 + 13% × 0.5 - 15.5% × 0.2 = 11.4% + 6.5% - 3.1% ＝ 14.8%

（分散）

分散は下式で求められます。

• 分散＝（ある状態における収益率ー期待収益率）² × 確率　の合計

したがって、それぞれの経済状態における「（ある状態における収益率ー期待収益率）² × 確率」を算出し、合計します。

• 好景気：（38%－14.8%）² ×0.3＝23.2×23.2×0.3＝161.472
• 平常時：（13%－14.8%）² ×0.5＝-1.8×-1.8 ×0.5＝1.62
• 不景気：（▲15.5%－14.8%）² ×0.2＝-30.3×-30.3 ×0.2=183.618
• 分散＝好景気の分散 +  平常時の分散 + 不景気の分散
• 分散＝161.472＋1.62＋183.618＝346.71

（標準偏差）

標準偏差は下式で求められます。

• 標準偏差＝√分散
• 標準偏差＝√346.71≒18.6% 

以上から、ポートフォリオXYの期待収益率は14.8%、分散は346.71、標準偏差は18.6%と求めることができます。

なお、ポートフォリオXYの収益率の分布が対数生起分布であると仮定すると、

• 68.26%（約3分の2）の確率で14.8%±18.6%の収益
• 95.45%の確率で14.8%±37.2％の収益

と、整理されることになります。

ここまでは単年における期待収益率と分布、標準偏差で評価をしてきました。

ポートフォリオのパフォーマンス評価のひとつとして、ポートフォリオの年平均の投資収益率（リターン）と、ポートフォリオの標準偏差があります。 

投資を複数年継続する場合、毎年の損益を繰り越さず、投資額をリセットする単利計算とするか、毎年の損益を繰り越して複利計算として評価をするのかで、投資収益率の計算の仕方が変わります。

年平均投資収益率（単利）＝各年の投資収益率の和／投資期間(年)
年平均投資収益率（複利）＝^期間 √（末期価値/初期価値-1）×100

（平均投資収益率）

• 年平均投資収益率（単利）＝各年の投資収益率の和／投資期間(年)
• 年平均投資収益率（単利）＝(-10%+20%+15%-5%)／4年⁼20%/4年⁼5%/年

（分散）

• 分散＝（（ある状態における収益率ー期待収益率）² × 確率）の合計
• 第1期の分散：（-10%-5%）² ×1/4=（-15%）² ×1/4=225/4=56.25
• 第2期の分散：（20%-5%）² ×1/4=（15%）² ×1/4=225/4=56.25
• 第3期の分散：（15%-5%）² ×1/4=（10%）² ×1/4=100/4=25
• 第4期の分散：（-5%-5%）² ×1/4=（-10%）² ×1/4=100/4=25
• 分散＝第1期の分散+第2期の分散+第3期の分散+第4期の分散
• 分散＝56.25+56.25+25+25⁼162.5

（標準偏差）

• 標準偏差＝√分散
• 標準偏差＝√162.5≒12.747 5% 

 以上から、ポートフォリオの年平均期待収益率は5%/年、分散は162.5、標準偏差は12.75% と求めることができます。

なお、ポートフォリオの収益率の分布が対数生起分布であると仮定すると、

• 68.26%（約3分の2）の確率で5%/年±12.75%の収益
• 95.45%の確率で5%/年±25.5％の収益

と、整理されることになります。

（平均投資収益率） 

• 年平均投資収益率（複利）＝^期間 √（末期価値/初期価値-1）×100
•  年平均投資収益率（複利）＝（⁴√（1×0.9×1.2×1.15×0.95 ）- １）×100 ＝（⁴√（1.1799）-1）×100≒4.22%

（分散）

• 分散＝（（ある状態における収益率ー期待収益率）² × 確率）の合計
• 第1期の分散：（-10%-4.22%）² ×1/4=（-14.22%）² ×1/4=225/4=50.5521
• 第2期の分散：（20%-4.22%）² ×1/4=（15.78%）² ×1/4=225/4=62.2521
• 第3期の分散：（15%-4.22%）² ×1/4=（10.78%）² ×1/4=100/4=29.0521
• 第4期の分散：（-5%-4.22%）² ×1/4=（-9.22%）² ×1/4=100/4=21.2521
• 分散＝第1期の分散+第2期の分散+第3期の分散+第4期の分散
• 分散＝50.5521+62.2521+29.0521+21.2521⁼163.108

（標準偏差）

• 標準偏差＝√分散
• 標準偏差＝√163.108≒12.771 % 

以上から、ポートフォリオの年平均期待収益率は4.22%/年、分散は163.108、標準偏差は12.77 % と求めることができます。

なお、ポートフォリオの収益率の分布が対数生起分布であると仮定すると、

• 68.26%（約3分の2）の確率で4.22%/年±12.77%の収益
• 95.45%の確率で4.22%/年±25.44％の収益

と、整理されることになります。

この記事では

• 期待収益率とは？
• 分散・標準偏差とは？
• ポートフォリオの期待収益率と分散と標準偏差とは？
• ポートフォリオ年平均の期待収益率とは？

等について、例題を用いながらこれらの概念をお伝えしました。

果たして、この株に投資していいものか？など、投資には悩みがつきものです。

そんな時、この記事を思い出して見返して頂ければよいかと思います。

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